Sub Pokok Bahasan :
1.
Medan Skalar (Scalar Field)
2.
Ruang
Vektor
3.
Ruang
Vektor Bagian (Subspace)
1. Medan
Skalar (Scalar Field)
Misalkan
diketahui K adalah himpunan, dan didefinisikan 2 buah operasi penjumlahan (+)
dan perkalian (*). Maka K dikatakan medan skalar jika dipenuhi 10 aksioma
berikut:
1)
Untuk
setiap α,β ϵ
K maka α+β ϵ K dan α*β ϵ K, dikatakan K tertutup terhadap operasi penjumlahan
dan perkalian.
2)
Untuk
setiap α,β,γ ϵ K maka (α+β)+γ = α+(β+γ)
3)
Terdapat
0 ϵ K disebut elemen nol, sedemikian hingga 0+α
= α+0 = α, untuk setiap αϵK
4)
Untuk
masing-masing αϵK, terdapat –α ϵ
K disebut negatif dari α sedemikian sehingga (-α)
+ α = α + (-α) = 0
5)
Untuk
setiap α,β ϵ K maka α + β = β + α
6)
Untuk
setiap α,β,γ ϵ K maka (α*β)*γ = α*(β*γ)
7)
Untuk
setiap α,β,γ ϵ K; maka:
a. α*
(β+γ) = α*β + α*γ
b. (β+γ)*α = β*α + γ*α
8)
U
ntuk setiap α,β ϵ K maka α*β = β*α
9)
Terdapat
1 ϵ K disebut elemen satuan, sedemikian sehingga 1*α
= α*1 = α, untuk setiap α ϵ
K
10) Untuk masing-masing α
≠ 0 ϵ K terdapat
disebut invers dari α
sedemikian sehingga
Dalam hal ini
semua anggota dari field adalah skalar.
2. Ruang
Vektor
Misalkan
ada suatu himpunan vektor V dan suatu medan skalar K,
didefinisikan operasi penjumlahan (+) terhadap elemen-elemen V sendiri
dan operasi perkalian (*) elemen-elemen V dengan elemen-elemen K
(disebut perkalian skalar). Maka V disebut Ruang Vektor jika dipenuhi
syarat berikut:
1)
Untuk
setiap u,v ϵ V dan α ϵ K maka : u + v ϵ
V, α u ϵ V (tertutup terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian skalar).
2)
Untuk
setiap u, v, w ϵ V maka (u+v) + w = u + (v+w)
3)
Untuk
setiap u, v ϵ V dan α ϵ K maka: α (u +
v) = α*u + α*v
4)
Terdapat
0 ϵ V disebut vektor nol, sedemikian sehingga 0 + u
= u + 0 = u, untuk setiap u ϵ
V
5)
Untuk
masing-masing u ϵ V, terdapat –u ϵ
V sedemikian sehingga (-u)+u = u+(-u) = 0
6)
Untuk
setiap u,v ϵ V maka u+v = v+u
7)
Untuk
setiap u ϵ V, dan α,β ϵ K berlaku:
a. (α+β)*u = α*u + β*u
b. (αβ)*u = α(β*u)
8)
Untuk
setiap u ϵ V berlaku 1*u = u dimana 1 adalah
elemen satuan dari K
Dalam hal ini semua anggota dari Ruang Vektor adalah
vektor.
3. Ruang
Vektor Bagian (Subspace)
Misalkan W adalah himpunan bagian yang tidak kosong
dari ruang vektor V di atas medan skalar K (secara simbolik ditulis W
V ), dan jika W juga ruang vektor di atas K dengan
menggunakan operasi yang sama, maka W adalah Subspace dari V.
Untuk menentukan apakah W merupakan ruang bagian dari
V, cukup diperiksa kondisi berikut:
1.
W
≠ Ø (W tidak kosong), untuk itu perlu ditunjukkan bahwa vektor 0 ϵ
W.
2.
Untuk
setiap a,b ϵ W maka a+b ϵ W
3.
Untuk
setiap a ϵ W, α ϵ K maka α a ϵ W
